Существует множество методов исследования нелинейных систем. В данной задаче для исследования применялся один из самых эффективных и информативных методов - отображение Пуанкаре на фазовой плоскости. С помощью отображения Пуанкаре можно отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например: периодические, квазипериодические, хаотические и т.д.

Одним из видов математических моделей динамики является разностное уравнение, иначе называемое отображением. Дадим также другое, более точное, определение понятия отображения при математическом исследовании динамических систем.

Отображением называют временную выборку данных {x(t),x(),…x()},для которой вводят обозначение = x(). В простом детерминированном отображении величину x(n+1) можно найти по значению

:
=f(). (4)

Мы будем рассматривать отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями, тогда если x()и (),то последовательность точек фазового пространства будет представлять собой двумерное отображение:

= f(,)

= g(, ) (5)

Если моменты выборки подчиняются правилу:

= n*T+ (6)

Где Т - период вынуждающего движения, то это отображение называется отображением Пуанкаре. Перечислим классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре:

а) Конечный набор точек - периодическое или субгармоническое колебание.

б) Замкнутая кривая - квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот.

в) Фрактальный набор точек - "странный" аттрактор в трехмерном фазовом пространстве.

г) Бесформенный набор точек – Возможны четыре случая:

1) Динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе.

2) "Странный" аттрактор, но диссипация в системе очень слаба.

3) "Странный" аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями.

4) Квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот.

Постановка задачи

Дано уравнение движения маятника с колеблющейся точкой подвеса (1).

За начальные условия, приняты следующие величины:

=0, =

Также начальным параметрам, которые в ходе исследования оставались неизменными, были следующие значения:

=0.25, =1, =1.56

Задача состояла в изучении поведения маятника при различных значениях амплитуды () колебания точки подвеса. Значениеизменялось на интервале с шагом d = 0.001, от 3 до 5 с шагом 0.1, и далее от 5 до 8 с шагом 0.3, от 8 до 10 с шагом 0.5. Исследование проводилось при помощи фазового портрета системы и построения отображения Пуанкаре на фазовой плоскости.

Физической моделью данной системы является обычный физический маятник, точка подвеса которого совершает гармонические колебания с амплитудой 2. Уравнение движения данной системы представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Существует два способа его решения: аналитический и численный. Аналитическое решение (если оно, конечно, существует) очень сложно, и поэтому задача решалась только численно. В качестве численного метода решения задачи использовался метод Рунге - Кутта четвертого порядка. Алгоритм решения уравнения этим методом:

Сначала уравнение (1) представляется в виде системы двух уравнений первого порядка: =

=
(7)

Или =
(
)

=
(
)(8)

где:
(
) =

(
) =

Далее по методу Рунге-Кутта вводятся для:

=
(
)

=
(
)

=
(
)
(9)

=
(
)

и для :=
(
)

=
(
)

=
(
)
(10)

=
(
)

Далее определяем
и
по формулам:

=
,
=
(11)

Обсуждение результатов

Анализ результатов показывает, что при малых значениях колебания являются затухающими. На рис. 1 изображен фазовый портрет таких колебаний при =0.15.

рис.1. = 0.15 – Затухающие колебания

Далее при колебания принимают субгармонический характер (удвоение периода). Пример фазового портрета таких колебаний изображен на рисунке 4.

При наблюдаются затухающие колебания.

При колебания становятся гармоническими.

Затем при вновь наблюдается бифуркация (удвоение) периода. На отображении Пуанкаре две точки, изображенные на Рис. 2, которые означают, как уже говорилось, удвоение периода.

Рис. 2. =0.56 – Б ифуркация Периода

При колебания принимают квазипериодический характер (утроение, учетверение периода).

При колебания принимают характер странного аттрактора, отображение Пуанкаре для которого при =0.65 изображено на рис 3.

рис.3. = 0.65 - "Странный" аттрактор

В точке = 0. 780 наблюдается особое явление переходного хаоса: при вырождении на отображении Пуанкаре восемь точек. Фазовый портрет системы и отображение Пуанкаре для данного случая изображены на рис. 4,1 и Рис. 4,2.

Рис. 4,1 Отображение Пуанкаре Рис. 4,2 Фазовый портрет

=0.78 - Восьмикратный период

При колебания становятся периодическими - на отображении Пуанкаре - одна точка.

При наблюдаются субгармонические колебания с двойным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с четверным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с восьмерным периодом.

При вновь наблюдался "странный" аттрактор.

=3.4 - затухающие колебания.

- субгармонические колебания с двойным периодом.

={10.0} - периодические колебания, Фазовый портрет показан на рис. 5.

={9.9; 8.3} - хаос; динамическая система со слишком сильным сигналом или шумом на входе.

рис.5. =10.0 - Периодические колебания

В результате выполнения задачи мы исследовали зависимость характера колебаний маятника с колеблющейся (в вертикальной плоскости) точкой подвеса в зависимости от амплитуды вынуждающей силы. Были подтверждены распределения областей значений нарастающих / затухающих изображенные на Рис. 1 – при и, затем при колебания затухающие.

Были так же получены и определенны различные виды хаотических и не детерминированных движений системы:

а) Гармонического осциллятора (
).

б) Субгармонический осциллятор (

).

в) Квазипериодический осциллятор (
{0. 780}
).

г) Хаотический осциллятор (Все остальное множество значений, подробно проанализированное по классам движений в нелинейных детерминированных системах в п. “ Обсуждение результатов ”).

(фазовых кривых) системы.

Более подробно, отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре ), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль ). Из точки на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через . Отображение Пуанкаре точке ставит в соответствие точку первого возвращения . Если траектория, выпущенная из , никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.

Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.

Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений - с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.

См. также

Отражающая функция

Ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Отображение Пуанкаре" в других словарях:

Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия

О возвращении одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой. Примером такой системы является гамилътонова система, эволюция к рой описывается решениями Гамильтона уравнений канонич. координаты и… … Физическая энциклопедия

Пусть К кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с радиусами r=a и r=b, и дано отображение его в себя (q полярный угол) удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет площадь, 2) каждая граничная окружность переходит в себя, 3) точки с … Математическая энциклопедия

1) П. п. формальной размерности и топологическое пространство X, где задан элемент, что гомоморфизм вида является изоморфизмом для любого k(здесь операция Уитни умножения, высечение). При этом наз. изоморфизмо … Математическая энциклопедия

Раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1 го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и… … Математическая энциклопедия

Для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v,… … Математическая энциклопедия

Последняя теорема Пуанкаре геометрическое утверждение, опубликованное Анри Пуанкаре (без доказательства) незадолго до смерти (1912). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф. Содержание 1 Формулировка 2 Вариации … Википедия

Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры,… … Большая советская энциклопедия

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пуанкаре. В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа… … Википедия

Рассмотрим систему с непрерывным временем, динамика кото­рой описывается некоторыми дифференциальными уравнениями. Пусть для определенности это автономная система с трехмерным фазовым пространством. Расположим в фазовом пространстве дву­мерную площадкуS и зададим на ней некоторую систему координат (X,Y). Выбор секущей поверхности в высокой степени произ­волен, но она должна размещаться так, чтобы интересующие нас фазовые траектории многократно ее пересекали и касание было бы исключено. Возьмем какую-нибудь точку (X, Y) на секущей поверхности, выпустим из нее фазовую траекторию и проследим за этой траекторией, пока не произойдет следующее ее пересече­ние с нашей площадкойS в некоторой точке (X", Y") с проходом в том же направлении. Если изменить точку старта, получится дру­гая точка-образ. Следовательно, возникает некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Это и естьотображение последования , илиотображение Пуан­каре .

Теперь можно отвлечься от исходных дифференциальных урав­нений и сосредоточиться на анализе динамики, порождаемой ото­бражением Пуанкаре. Эта подмена объекта исследования не сопро­вождается какими-либо аппроксимациями, анализ остается точ­ным. Цена, которую приходится при этом заплатить, - это потеря информации о характере динамики в промежутки времени между последовательными пересечениями секущей поверхности, в частности, о продолжительности интервалов времени между этими пересечениями и о топологических свойствах фазовых траекто­рий. Тем не менее, сохраняется возможность анализировать мно­гие принципиальные вопросы, например, устанавливается ли в си­стеме регулярный или хаотический режим.

Найти отображение Пуанкаре для конкретных нелинейных си­стем в явном виде удается очень редко, в тех исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналити­ческое решение. Можно, однако, построить отображение Пуанкаре, как численный алгоритм.

Предположим, что динамическая система описывается диффе­ренциальными уравнениями

и секущая поверхность задана уравнением

Пусть, далее, мы имеем реализованную в виде компьютерной про­граммы процедуру решения системы уравнений (6.2), например, методом Рунге-Кутта. Зададим в качестве начального условия некоторую точку на секущей поверхности и будем строить реше­ние шаг за шагом разностным методом, отслеживая знак функ­цииS(x, у, z). Момент пересечения траекторией секущей поверх­ности - это момент смены знакаS.Мы можем без труда зафиксировать, между какими по номеру шагами разностного ме­тода это случится. Предположим, что это произошло между n -м и (n + 1)-м шагами, так чтоS n =S(x(nΔt), y(nΔt), z(nΔt)) и S n+1 =S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt)) имеют противо­положный знак. Остановимся и спросим, как теперь уточнить мо­мент пересечения. То, что нам на самом деле требуется, это даже не точный ответ (мы ведь все равно аппроксимировали диффе­ренциальные уравнения разностной схемой), но такой результат, который был бы согласован по точности с используемой аппрок­симацией. Изящный способ решения этой проблемы был указан Мишелем Эно и состоит в следующем. Дополним систему уравнений (6.3) еще одним соотношением, а именно,

А теперь перепишем уравнения, приняв за независимую перемен­ную S. Вводя для удобства обозначение

Возьмем значенияx, у, z, t иS, полученные на (n + 1) -м шаге, и сделаем один шаг по S, величина которого (- S n +1) (она может быть как положительной, так и отрицательной). После этогоSобратится в нуль, а полученные в результате х, у, z и t дадут как раз то, что требуется - значения динамических переменных и времени в момент пересечения траекторией поверхности S.

Алгоритм построения отображения Пуанкаре по методу Эно удобно программировать сразу как численное решение уравнений (6.6). При этом функция Н(х, у, z) полагается равной 1 до тех пор, пока выполняются «стандартные» шаги по времени, и переопреде­ляется в соответствии с (6.5), когда возникает необходимость про­извести «нестандартный» шаг по S. Поскольку в обоих случаях ис­пользуется один и тот же разностный метод, достигается желаемое согласование по точности. Хотя объем вычислений несколько уве­личивается из-за того, что количество уравнений стало больше на единицу, это компенсируется очевидными достоинствами метода.

Отдельного обсуждения требует важный для нелинейной ди­намики класс систем, задаваемых неавтономными дифференци­альными уравнениями с периодическими коэффициентами. С фи­зической точки зрения, это системы с периодическим внешним воздействием, все равно, силовым или параметрическим. Для та­ких систем процедура построения сечения Пуанкаре оказывается совсем простой.

Пусть в отсутствие периодического воздействия система имела двумерное фазовое пространство (x, y) и описывалась уравнени­ями вида , . Наличие внешнего периоди­ческого воздействия в общем случае выражается в том, что функ­ции f 1 и f 2 надо считать периодически зависящими от времени, т. е. и и записать

Введем новую переменную z, удовлетворяющую уравнению . Ясно, что автономная система с трехмерным фазовым простран­ством

эквивалентна (6.7). Для построения отображения Пуанкаре, в ка­честве секущей поверхности удобно взять плоскостьz = const(рис. 6.1б). В качестве координат на секущей плоскости можно

использовать естественные динамические переменные х и у. По­скольку поz фазовое пространство имеет периодическую струк­туру, мы можем не различать точки, отстоящие друг от друга на целое число периодов Т. Иными словами, когда изображающая точка пересекает верхнюю плоскость на рис. 6.1б, она мгновенно перескакивает на нижнюю, сохраняя те же значения координат х и у. О вспомогательной переменнойz можно забыть, ибо она не отличается от времениt, и говорить о фазовом пространстве (x, у, t).

Отображение Пуанкаре х" =F 1 (x, у), у" =F 2 (x, у) имеет про­стой смысл - оно описывает изменение динамических перемен­ных за один период внешнего воздействия. О нем иногда говорят как остробоскопическом отображении. Представьте себе, что динамика системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внеш­него воздействия на короткий миг вспыхивает яркий свет, так что мы можем отслеживать дискретную последовательность состо­яний, отвечающую моментам вспышек. В отличие от случая авто­номных систем, численное построение стробоскопического отобра­жения Пуанкаре не вызывает никаких проблем - нужно просто всегда выбирать шаг интегрирования так, чтобы период воздей­ствия содержал целое число шагов.

Все проведенное рассмотрение очевидным образом обобщается для фазового пространства большей размерности, только вместо секущей двумерной площадки надо говорить о сечении N -мерного фазового пространства гиперповерхностью размерности N-1. То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится рабо­тать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Отображе­ние Пуанкаре вообще оказалось очень продуктивной теоретической конструкцией. Проводя рассуждения в терминах отображения Пу­анкаре, можно получать заключения очень общего характера, при­менимые и к системам, описываемым дифференциальными урав­нениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекур­рентным отображениям - динамическим системам с дискретным временем. Замечательно, что процедура построения отображения Пуанкаре перестала быть уделом теоретиков и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем.

График Пуанкаре представляет собой точечную диаграмму: на оси абсцисс отложены значения текущего интервала RR, а на оси ординат – следующего по времени значения RR. Форма графика Пуанкаре категоризирована в несколько функциональных классов (рис. 8).

Рис. 8. Примеры графиков Пуанкаре (на картах представлены точки с координатами R i R i +1 и R i +1 R i +2 интервалов), используемые для оценки качеств последовательности RR- интервалов: графики (a)-(d) - тщательно отредактированная последовательность RR- интервалов (ритм синусовый); (e)-(j) - записи больных сердечно-сосудистыми заболеваниями (Stein P.K. и соавт., 2008)

В графике Пуанкаре содержится как обобщающая информация о вариабельности сердечного ритма, так и детальная информация об его изменении от систолы к систоле. График Пуанкаре снизу вверх пересекает линия идентичности. Положение точки на линии идентичности означает, что ритм сердца (продолжительность интервалов RR) не изменялась в течение 2-х сокращений (рис.9).

Рис 9. Метод вычисления показателей ВСР на основе графика Пуанкаре. Относительно центроиды (среднее значение интервала RR) строится эллипс, ширина которого обозначается как SD1 (стандартное отклонение перпендикулярно центральной оси), а длина – SD2 (стандартное отклонение вдоль центральной оси) (Stein P.K. и соавторы, 2008)

Таким образом, линия идентичности представляет собой график функции x=y (RRn = RRn+1). Если точка расположена выше линии идентичности, то это означает, что x

Для диагностики функционального состояния используются интегральные показатели, вычисляемые на основе мер вариабельности сердечного ритма. Одним из таких индикаторов общего состояния организма является показатель активности регуляторных систем. Данный показатель вычисляется в баллах на основе статистических показателей, показателей гистограммы и данных спектрального анализа.

Вычисление ПАРС проводится согласно алгоритму, базирующемуся на пяти критериях:

1. Суммарный эффект регуляции по показателям частоты пульса (ЧП).

2. Суммарная активность регуляторных механизмов по среднему квадратическому отклонению (или по общей спектральной мощности).

3. Вегетативный баланс по комплексу показателей:SI, RMSSD, HF, IC.

4. Активность вазомоторного центра, регулирующего сосудистый тонус (оценивается по мощности медленных волн первого порядка – LF).

5. Активность сердечно-сосудистого подкоркового нервного центра, или надсегментарных уровней регуляции. Эти структуры осуществляют регуляцию сосудистого тонуса, а их активность можно оценить по уровню VLF.

Полученные в результата значения ПАРС выражаются в баллах и колеблются в диапазоне от 1 до 10. На основании этих баллов могут быть диагностированы следующие функциональные состояния:

На основании анализа значений ПАРС могут быть диагностированы следующие функциональные состояния:

Состояние оптимального напряжения регуляторных систем, необходимое для поддержания активного равновесия организма со средой (норма, ПАРС = 1-2).

Состояние умеренного напряжения регуляторных систем, когда для адаптации к условиям окружающей среды организму требуются дополнительные функциональные резервы. Такие состояния возникают в процессе адаптации к трудовой деятельности, при эмоциональном стрессе или при воздействии неблагоприятных экологических факторов (ПАРС = 3-4).

Состояние выраженного напряжения регуляторных систем, которое связано с активной мобилизацией защитных механизмов, в том числе повышением активности симпатико-адреналовой системы и системы гипофиз-надпочечники (ПАРС = 4-6).

Состояние перенапряжения регуляторных систем, для которого характерна недостаточность защитно-приспособительных механизмов, их неспособность обеспечить адекватную реакцию организма на воздействие факторов окружающей среды. Здесь избыточная активация регуляторных систем уже не подкрепляется соответствующими функциональными резервами (ПАРС = 6-8).

Состояние истощения (астенизации) регуляторных систем, при котором активность управляющих механизмов снижается (недостаточность механизмов регуляции) и появляются характерные признаки патологии. Здесь специфические изменения отчетливо преобладают над неспецифическими (ПАРС = 8-10).

Рис. 10. Ритмограммы, записанные у одного человека в состоянии покоя (левая половина) и при стрессе (правая половина). А- последовательность интервалов RR в спокойный период, В - последовательность интервалов RR при; C и D – соответствующие скатерограммы; E, F, G, I – гистограммы, характеризующие распределение точек на графике Пуанкаре